푸리에 변환

시계열 데이터의 분석에서 많이 사용되는 푸리에 변환은 주파수 도메인으로 데이터를 변경해준다. 이번 공부를 통해서 푸리에 변환, 시리즈에 대해서 수식을 어느정도 이해할 수 있었다. 

 

임의의 예제 데이터인 s=[1,3,7,2,3,0,8,2,11] ( N=9 )에 대해서 직접 DFT를 적용하고 어느 주파수 성분이 강한 지 확인해 보았다. DFT에 대한 식은 아래의 식을 참고했다. 

N이 데이터 혹은 입력의 전체 길이, k가 0~N-1까지 인덱스에 해당한다

 

  예를 들어 k가 1인 경우에 대해 X1을 계산하게 되면 오일러 공식을 사용하여 cos,sin의 값을 가지고 X1을 계산하면 된다. X1을 계산하는 데에도 주어진 입력 s의 모든 값들이 한 번씩 연산이 되어야 하니 시간 복잡도 측면에서 별로 좋지 않다. 

 

복소수 체계로 값이 계산되기 때문에 허수 부분과 실수 부분을 따로 연산하여 X1 = 5.46+ 4.38i라는 결과를 얻을 수 있다.

 

 X1을 구하는 과정처럼 X0~Xn-1까지 값을 모두 구하고 ∣Xk∣의 값을 비교해 보면 k가 4인 경우가 가장 강한 주파수 성분임을 알 수 있다. 즉, N/k주기로 반복되는 파형이 가장 많이 데이터에 섞여 있다고 해석 가능하니 위의 예시의 경우 9/4 샘플을 주기로 반복되는 파형이 가장 많이 섞여 있다 볼 수 있다.